10Sınıf Matematik SAYMA VE OLASILIK BİNOM AÇILIMI – II OGM Materyal Konu Özeti. Bu konu özeti 10.Sınıf Matematik için Ortaöğretim Genel Müdürlüğü yani OGM Materyal tarafından 10.Sınıf öğrencilerinin. 10.Sınıf Matematik Konu Özeti (OGM Materyal)
10Sınıf Matematik Dersi Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konusu Testi Soru No : 32717, Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konusu, 10.Sınıf Matematik Dersi Testi Çöz. İLKOKUL. 1. SINIF 2. Kareköklü İfadeler Konu Anlatımı Üslü İfadeler Konu Anlatım
PascalÜçgeni – Binom. Ara 18, 2012. Pascal üçgeni – Binom Sınıf Matematik Toplama ve Çıkarma İşlemi Testi Çöz 4. Sınıf Matematik Sayı Örüntüleri Konu Anlatımı; Bir cevap yazın Cevabı iptal et. E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir.
10Sınıf Matematik Kazanımları 2021-2022, Okullarda okutulan matematik müfredatının kazanımlarını listelenmiş halidir. 10. SINIF MATEMATİK ÖĞRETİM PROGRAMI. VERİ, SAYMA VE OLASILIK ÖĞRENME ALANI. Alt Öğrenme Alanı: Sayma ve Olasılık. Konu: Sıralama ve Seçme.
10 Sınıf Fizik Konuları Konu Anlatımı ve Soru Çözümleri. 10. Sınıf Fizik: Ohm Kanunu TEST – 1 | Üniversiteye. Pascal Prensibinin Kullanım Alanlarına Örnekler. Etkinlik Paylaş: 10. sınıf fizik Mercekler Çözümlü Sorular – PDF. Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı 10. Sınıf.
MHNlR.
Pascal özdeşliği veya Pascal üçgeni, üçgensel bir sayı dizisidir. Bu üçgen, Fransız matematikçi Blaise Pascal’ın soyadıyla anılsa da Pascal’dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya’da bazı matematikçiler ve Müslüman bilim adamlarından Ömer Hayyam tarafından da bulunmuştur. Pascal üçgeni incelendiğinde, üçgendeki bir sayının kendi üstündeki iki sayının toplamı olduğu görülür. Pascal üçgenindeki satırları 0 sıfır dan başlayarak numaralandırdığımızda 1. örnekteki katsayılar ile Pascal üçgenindeki satırların aynı olduğunu görürüz. On birinci yüzyılda yaşamış ünlü matematikçilerden biri de Ömer Hayyamdır. Asıl adı Gıyasettin Ebulfeth Bin İbrahim El Hayyam'dır. Ömer Hayyam’ın matematiğe başlaması tesadüfen olmuştur. Babası çadırcı olduğundan, oğlunun baba mesleğini devam ettirmesi için biraz geometri öğrenmesi gerektiğine karar vermiştir. Oğluna hocalar tutmuştur. Fakat hocalar oğlunun çadırcılıkla yetinmeyeceğini anlamışlar ve babasından rica edip, eğitimini sürdürmesini sağlamışlar. Hayyam da hocalarının yüzünü kara çıkarmamıştır. Yaşadığı dönemde İbn-i Sina'dan sonra Doğu'nun yetiştirdiği en büyük bilgin olarak kabul edilmiştir. Tıp, astronomi, fizik, cebir, geometri ve matematik alanlarında önemli çalışmaları olan Hayyam'ın birçok yapıtı bugüne ula- şamamıştır. Daha çok rubaileri ile tanıdığımız Hayyam, Celali Takvimi’ni de bulmuştur. Binom açılımı konusu, 11. sınıf müfredatında olasılık konusundan önceki konudur ve Lys matematik sınavında soru gelmektedir. n pozitif tam sayı olmak üzere, x + y üzeri n ifadesinin açılımına binom açılımı denir. Bu konuda bulunan konu başlıkları; Binom açılımının tanımı Binom açılımının kuralı Pascal üçgeni Binom açılımındaki terim sayısı Binom açılımında katsayılar toplamı Binom açılımında sabit terim Binom açılımında baştan ve sondan n. terimi bulma kuralıi 19. ôekil u de verilen ü¿gen, Pascal ü¿geni olarak bilinir. 1623 - 1662 yllar arasnda yaõayan Fransz matematik¿i Blaise Blez Pascal n adyla anlan ve binom a¿lmndaki katsaylar veren bu ü¿gen ile ilgili ilk ¿alõmalar Hintliler yapmõtr. Sonrasnda 1048 - 1131 yllar arasnda yaõayan õair, ùlozof ve matematik¿i olan ±mer Hayyam n da bu konuda ¿alõmalar olmuõtur. Bu ü¿genle ilgili Hayyam n bir kitabnn olduóu, fakat kitabn günümüze ulaõmadó, ±mer Hayyam n bu kitaptan baõka kitaplarnda bahsettiói bilinmektedir. ±mer Hayyam n cebir üzerine yazdó kitap Doóu da matematik dünyasnda uzun yllar kullanlmõtr. Batl matematik¿ilerin bu kitapla tanõmas 1800 lü yllarda yaplan ¿evirisi ile olmuõtur. ±ncesinde ise 1742 ylnda Gerard Meerman +eôa .JmaO adl bilim adam bir eserinin ËnsËzünde islam bilginlerinin matematióe katklarndan ve ±mer Hayyam n Hollanda Kütüphanesi nde bulunan el yazmas eserinden 20. ôekil u de verilen ü¿gen Pascal ü¿genidir. Pascal ü¿- geninde her satrn birinci says olan 1 den sonra gelen say, bir üst satrn birinci ve ikinci saylarnn toplamdr. Her satrn ü¿üncü says üst satrn ikinci ve ü¿üncü say- larnn toplamdr. Bu õekilde oluõturulan Pascal ü¿geninde her satrn son says ise yine 1 Bir snfta 15 kz, 16 erkek Ëórenci vardr. Bu snftan se¿ilecek bir Ëórenci ka¿ farkl bi¿imde belirlenebilir 2. 10 soruluk bir testte her soru i¿in 5 farkl se¿enek bulunmaktadr. Art arda gelen sorularn cevaplar ayn olmayacaóna gËre bu test i¿in ka¿ farkl cevap anahtar oluõturulabilir 3. i 21. ôekil u de A, B ve C õehirlerinin arasndaki yollar gËsterilmiõtir. a. A õehrinden C õehrine gitmek isteyen bir kiõi ka¿ farkl yol kullanabilirb. Gidiõ ve dËnüõte B õehrine uórayacak biri A õehrinden C õehrine gidip dËnecektir. Kullandó yolu tekrar kullanamayacak olan bu kiõi ka¿ farkl yol kullanabilir 4. A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanlar kullanlarak ü¿ basamakl a. Ka¿ doóal say oluõturulabilir b. 3akamlar farkl ka¿ doóal say oluõturulabilir c. 3akamlar farkl ka¿ ¿ift doóal say oluõturulabilir d. 300 ile 600 arasnda ka¿ doóal say oluõturulabilir
Başarıya daha kolay ulaşmak için sizinde bir eğitim koçunuz olsun. Eğitim koçluğu hakkında bigi için TIKLAYIN KONU ANLATIMLARI ÇÖZÜMLÜ SORULAR DERSLERİN ÜZERİNE TIKLAYARAK AÇABİLİRSİNİZ BİNOM TANIM n doğal sayı olmak üzere; eşitliklerine binom açılımı denir. AYRICA * sayılarına binom kat sayıları denir. * ifadelerinin her birine terim denir. * ifadesinde ; katsayı , , xn-r ile yr terimin çarpanlarıdır. GENEL KURALLAR ÇÖZÜMLÜ SORULAR Ortadaki Terimi Bulma Sondan n 'inci Terimi Bulma Hatırlatma x+yn in açılımında n+1 tane tarim vardır. Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Soru Çözüm Tüm dokümanlar tanıtım amaçlıdır satışı yapılmadığı gibi hiçbir ticari menfaat gözetilmemektedir. 5846 Fikir ve Sanat Eserleri Kanununda Değişiklik Resmi Gazete Kabul Tarihi ile kanunun 25. maddesinin ek 4. maddesine göre hakkı ihlal edilen öncelikle üç gün içinde ihlalin durulmasını istemek zorundadır. Eğer ihlal edilen bir durum söz konusu ise iletişim birimlerinden lütfen bize ulaşınız.
Temel Yeterlilik Sınavı TYT13 Haziran 2020 Cumartesi
PASCAL ÜÇGENİFransız matematikçi Blaise Pascalın adıyla anılan Pascal Paskal üçgeninin kuralı şu şekildedir► İlk satırda tek eleman vardır ve 1’dir.► Alt satırlara inildikçe satırdaki eleman sayısı 1 artar.► Her satırının ilk ve son elemanı 1’dir.► Satırdaki diğer elemanlar bir üst satırdaki kendine komşu olan iki sayının kurala göre devam eden Paskal üçgeninin aşağıda ilk 6 satırı AÇILIMIAşağıdaki özdeşlikleri ya biliyoruz ya da çarpma işlemi yaparak kolayca bulabiliriz.x + y1 = x + yx + y2 = x + y.x + y = x2 + 2xy + y2x + y3 = x + y.x + y.x + y = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3Ancak kuvvet büyüdükçe özdeşliği çarpma işlemi yaparak bulmak zorlaşır. Bu durumda kombinasyon yardımıyla binom açılımını kullanarak özdeşlikleri ve y sıfırdan farklı ve n bir doğal sayı olmak x + yn ifadesinin x ve y’nin kuvvetleri cinsinden açılımına binom açılımı denir.x + yn = \\binom{n}{0}\ xn−0 y0 + \\binom{n}{1}\ xn−1 y1 + \\binom{n}{2}\ xn−2 y2 + … + \\binom{n}{n}\ xn−n ynBinom açılımında terimleri oluştururken katsayıları kombinasyon yardımıyla hesaplarız. x’in azalan kuvvetlerine göre açılım yaparken x’in üssünü n’den başlayıp her terimde bir azaltırız, y’nin üssünü 0’dan başlayıp her terimde bir arttırırız. Böylece son terimde x’in üssü 0, y’nin üssü n olmuş x + y5 ifadesinin özdeşini binom formülünü kullanarak x’in azalan kuvvetlerine göre katsayılarını \\binom{5}{0}\dan \\binom{5}{5}\e doğru sırayla yazarız. x’in kuvvetlerini 5’ten 0’a doğru, y’nin kuvvetlerini 0’dan 5’e doğru sırayla terimlere yazarız.x + y5 = \\binom{5}{0}\ x5 y0 + \\binom{5}{1}\ x4 y1 + \\binom{5}{2}\ x3 y2 + \\binom{5}{3}\ x2 y3 + \\binom{5}{4}\ x1 y4 + \\binom{5}{5}\ x0 y5Daha sonra katsayılardaki kombinasyon değerlerini hesaplayıp yerlerine yazarız.x + y5 = 1 x5 y0 + 5 x4 y1 + 10 x3 y2 + 10 x2 y3 + 5 x1 y4 + 1 x0 y5Katsayılardaki 1’leri, x0 ve y0 ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.x + y5 = x5 + 5 x4 y + 10 x3 y2 + 10 x2 y3 + 5 x y4 + y5PASCAL ÜÇGENİ – BİNOM AÇILIMI İLİŞKİSİPascal üçgenindeki sayılar kombinasyon hesabı ile de elde edilebilir. Bu kombinasyon değerleri aynı zamanda x + yn ifadesinin açılımında katsayılara karşılık gelir. Bu ilişki sayesinde açılımdaki katsayılar kombinasyon hesabı yerine Pascal üçgeninden x + y4 ifadesinin özdeşini Pascal üçgeninden faydalanarak x’in artan kuvvetlerine göre katsayılarının 1 4 6 4 1 olduğunu Pascal üçgeninin 5. satırından görebiliriz. x’in kuvvetlerini 0’dan 4’e doğru, y’nin kuvvetlerini 4’ten 0’a doğru sırayla terimlere yazarız.x + y4 = 1 x0 y4 + 4 x1 y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y1 + 1 x4 y0Katsayılardaki 1’leri, x0 ve y0 ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.x + y4 = y4 + 4 x y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y + x4Pascal ÖzdeşliğiPascal üçgeninde bir satırdaki iki elemanın toplamının alt-ortalarındaki elemana eşit olduğunu biliyoruz. Bu özelliği yukarıdaki görselde kombinasyonla oluşturulmuş üçgende de Pascal üçgeninde 4 ve 6’nın toplamı alt-ortalarındaki 10’a eşittir. Bu sayıların yerlerine kombinasyon üçgeninde bakacak olursak \\binom{4}{1}\ + \\binom{4}{2}\ = \\binom{5}{2}\ eşitliğini görürüz. Bu eşitliği genellersek aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.\\binom{n}{r}\ + \\binom{n}{r+1}\ = \\binom{n+1}{r+1}\ eşitliğine Pascal özdeşliği \\binom{12}{5}\ + \\binom{12}{6}\ ifadesinin \\binom{13}{6}\ya eşit olduğunu pascal özdeşliği sayesinde AÇILIMININ ÖZELLİKLERİTerim sayısıx+yn ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1 2x + 3y10 ifadesinin açılımında 10+1 = 11 terim üsler toplamıx+yn ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n 3x − y8 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 7. terimi ifadenin açılımdaki 7. terimi 252x2y6 dir. Burdaki x’in ve y’nin üslerini toplarsak 2 + 6 = 8 olduğunu r+1 inci terimx+yn ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1inci terim \\binom{n}{r}\ xn−r yr 2x + 4y5 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 4. terimini + 1 = 4 olduğu için r = 3’tür. Aşağıdaki ifadede r yerine 3, x yerine 2x, y yerine de 4y yazarız.\\binom{n}{r}\ xn−r yr = \\binom{5}{3}\ 2x5−3 4y3 = 10 . 4x2 . 64y3 = 2560x2y3Sondan r+1 inci terimx+yn ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan r + 1inci terim \\binom{n}{r}\ xr yn−r x − 2y7 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan 5. terimini + 1 = 5 olduğu için r = 4’tür. Aşağıdaki ifadede r yerine 4, x yerine x, y yerine de −2y yazarız.\\binom{n}{r}\ xr yn−r = \\binom{7}{4}\ x4 −2y7−4 = 35 . x4 . −8y3 = −280x4y3Ortanca terimn doğal sayı olmak üzere x+y2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim \\binom{2n}{n}\ xn yn 2x − 110 ifadesinin açılımında ortada yer alan terimi üssü 10 olduğundan n = 5 alırız. Aşağıdaki ifadede n yerine 5, x yerine 2x, y yerine −1 yazarız.\\binom{2n}{n}\ xn yn = \\binom{10}{5}\ 2x5 −15 = 252 . 32x5 . −1 = −8064x5Katsayılar toplamıx+yn ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı 3x − 5y4 ifadesinin açılımında katsayılar toplamı kaçtır toplamını bulmak için x ve y yerine 1 toplamı = − = 3 − 54 = −24 = 16Sabit terimx+yn ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı 3x − 15 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır terimi bulmak için x yerine 0 terim = − 15 = 0 − 15 = −15 = −1ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULARÖRNEK 1 x − y5 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımını yazalım.x − y5 = \\binom{5}{0}\ x5 −y0 + \\binom{5}{1}\ x4 −y1 + \\binom{5}{2}\ x3 −y2 + \\binom{5}{3}\ x2 −y3 + \\binom{5}{4}\ x1 −y4 + \\binom{5}{5}\ x0 −y5x − y5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3 y2 − 10 x2 y3 + 5 x y4 − y5ÖRNEK 2 3x + 2y3 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımını yazalım.3x + 2y3 = \\binom{3}{0}\ 3x3 2y0 + \\binom{3}{1}\ 3x2 2y1 + \\binom{3}{2}\ 3x1 2y2 + \\binom{3}{3}\ 3x0 2y33x + 2y3 = 27 x3 + 54 x2 y + 36 x y2 + 8y3ÖRNEK 3 x + 73k+1 ifadesinin açılımında 11 terim bulunduğuna göre k kaçtır bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1’dir. Bu yüzden3k + 2 = 113k = 9k = 3 4 2x + yk ifadesinin açılımındaki terimlerden biri olduğuna göre k kaçtır bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n’dir. Bu yüzdenk = 2 + 4k = 6 5 −2x + 15 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 4. terimini bulalım.x+yn ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1’inci terim \\binom{n}{r}\ xn−r yr dir. Bu yüzden r + 1 = 4 eşitliğinden r = 3 elde ederiz.\\binom{5}{3}\ −2x5−3 1310 . 4 . x2 . 1 = 40x2ÖRNEK 6 −x − 26 ifadesinin açılımının ortadaki terimini bulalım.x+y2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim \\binom{2n}{n}\ xn yn dir. Bu yüzden n yerine 3, x yerine −x, y yerine −2 yazarız.\\binom{6}{3}\ −x3 −23 = 20 . −x3 . −8 = 160x3ÖRNEK 7 2x − 3y5 ifadesinin katsayılar toplamını bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır. Bu yüzden katsayılar toplamını − = −15 = −1 8 3x − 26 ifadesinin sabit terimini bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır. Bu yüzden sabit terimi − 26 = −26 = 64 buluruz.
10 sınıf pascal üçgeni konu anlatımı
